[出处] 教育教学论坛_2022年第16期

曹金凤　王志文　刘鹏　撒占友　李策

[关键词] 弹性力学与有限元;有限元分析软件及应用;案例式教学;教学模式;课程改革

[基金项目] 2020年度山东省教育厅山东省专业学位研究生教学案例库项目“‘有限元分析软件Abaqus及应用’案例库建设”（SDYAL20112）

[作者简介] 曹金凤（1978—），女，山东青岛人，博士，青岛理工大学机械与汽车工程学院副教授，主要从事计算力学与Abaqus软件数值模拟研究;王志文（1995—），男，山东临沂人，硕士，青岛理工大学机械与汽车工程学院2020级机械专业硕士研究生，研究方向为Abaqus有限元仿真与轮胎的设计仿真一体化;刘 鹏（1990—），男，山东青岛人，博士，青岛理工大学机械与汽车工程学院副教授（通信作者），主要从事故障诊断与可靠性分析、海洋工程装备研究。

[中图分类号] O343.1 [文献标识码] A [文章编号] 1674-9324（2022）16-0157-04 [收稿日期] 2021-07-28

引言

“弹性力学与有限元”课程主要研究变形体在外来因素作用下的位移、应变和应力的分布规律，是机械工程、土木工程、力学相关专业的研究生必修课程[1]。有限单元法是力学、数学、物理学、计算方法、计算机技术等多种学科综合发展和结合的产物，是随着计算机技术的广泛应用而迅速发展起来的一种数值分析方法，其基本思想就是“化整为零”，将连续的、理论上具有无限个自由度的模型离散为有限个单元、有限个自由度的模型，借助计算机、大型工作站的超强计算能力，解决实际工程问题，即将复杂的连续体划分为有限个简单的单元体，单元体之間仅通过结点相连，将连续场函数（偏）微分方程的求解问题转化为有限个参数的代数方程组的求解问题[2-6]。

“弹性力学与有限元”课程理论性强，公式多且表达式复杂，对学生的数学要求较高[7]。目前，大多数高校采用传统的教学模式，即以理论教学为主，通过板书、理论推导、例题讲解等方式讲授，由于学生缺乏实际工程经验，学习过程中易出现难理解、难应用、难掌握的诟病。为了提高学习兴趣，将“弹性力学与有限元”课程中的基本概念、基础知识与实际工程密切联系，本文提出了“一题两课”案例式教学方法，即对于同一弹性力学问题，用“弹性力学与有限元”和“有限元分析软件及应用”两门课程的知识体系来解决，通过比较分析结果，找出两门课程的异同，不仅学会知识，掌握分析方法，而且达到举一反三、触类旁通的效果。

一、“一题两课”的教学案例

（一）选取一题

选择徐芝纶编写的《弹性力学简明教程》（第五版）[8]3～8题经典矩形截面长竖柱问题作为教学案例，如图1所示。对于矩形截面长竖柱，密度为ρ，在右侧面受均布剪力q作用，试求解各个应力分量。为了便于将理论解与有限元软件数值解进行比较，假设模型尺寸和荷载如下：h=50m，b=3m，ρ=7800kg/m3，q=10Pa，材料为线弹性，弹性模量E=210GPa，泊松比，构件处于线弹性小变形阶段。

（二）弹性力学与有限元的理论解

采用半逆解法求解，首先根据已有力学知识分析长竖柱的应力分布规律。假设某个应力分量的函数形式，反推出应力函数并使其满足相容方程和应力边界条件。根据题目要求和材料力学课程相关知识，易知该问题属于偏心受压，切应力的分布是x的函数，故假设：

（三）有限元分析软件及应用的数值解

实际工程问题往往模型、荷载和约束都十分复杂，很难获得理论解。通常都需要借助大型有限元分析软件Abaqus、ANSYS、ADINA等获得数值解。本文在大型非线性有限元分析软件Abaqus中建立相同的矩形截面长竖柱模型，施加相同荷载和约束，重点查看单元网格尺寸、单元类型不同时相同位置的应力分析结果。

1.建立有限元模型。在大型非线性有限元分析软件Abaqus[9-11]中建立长竖柱有限元模型，高度和宽度分别为h=50m，b=3m，定义线弹性材料参数，杨氏模量和泊松比分别为2.1×1011Pa和0.3，材料密度为7800kg/m3。

2.定义边界条件和施加载荷。在Initial分析步中设置边界条件为下端完全固定，施加重力荷载，对其右表面施加切应力荷载，大小为10N/m2，方向向量为（0，-1，0）。

3.设置网格种子密度和单元类型，划分网格。本文选择两种单元类型，即CPS4R（四边形）和CPS3（三角形）单元，网格种子密度分别设为1、0.5，网格划分完毕后分别如图2和图3所示。

4.数值解。采用Abaqus软件对该模型进行模拟应力分析，比较不同单元密度、不同单元类型对其结果的影响，设置单元格密度分别为1和0.5，单元形状分别为四边形、三角形，观察4种不同工况的仿真结果如图4所示，可以发现4种工况的模拟结果较为接近，最大应力均在底部。

二、比较与讨论

通过使用理论解和数值分析解两种方法，对长竖柱模型在重力和切应力作用下的应力结果进行分析。为了提高学生的学习效果，深刻理解和掌握两门课程的差异，下面对计算结果进行详细的分析比较。

由于本算例只受到重力和沿著竖向切应力作用，因此，沿x轴方向的应力很小，故只对轴应力进行分析。为便于比较，特选取（3，-15）、（2，-12）、（1，-8）、（0，-5）四个点，对四边形单元、网格密度为1的应力分析解与理论解应力进行比较。随着y坐标的减小，应力值逐渐增大;理论解与Abaqus数值分析解变化趋势一致，通过对比Abaqus数值模拟结果与理论计算值，发现各点理论应力与分析应力差值在几十帕内，证明数值模拟结果较准确。对于坐标为（3，-15）的点，“弹性力学与有限元”课程的理论解为1.1468Mpa，在Abaqus软件中选择不同单元类型、不同网格密度的应力分析结果进行比较。选择单元类型为四边形，网格密度分别为0.5、1，单元阶次为二次单元时的数值解为1.1468Mpa，二者差值为0，线性单元的数值解分别为1.14678Mpa、1.14676Mpa，误差分别为0.017%、0.035%。当选择三角形单元、网格密度为0.5和1时，二次单元的数值解分别为1.1478Mpa、1.14813Mpa，误差为0.017%、0.035%，线性单元的数值解分别为1.13676Mpa、1.12332Mpa，误差为0.875%、2.047%。

由上述结果可以看出：单元网格越细密，计算结果越准确，与“弹性力学与有限元”课程的理论学习一致;比较三角形和四边形单元的分析结果，可以发现：本算例中，四边形单元的计算结果更加准确，原因是本模型为规则长方形，选择四边形单元求解精度更高;比较单元阶次可以看出，二次单元比线性单元更加准确，原因是二次单元增加了中间插值节点，可以拟合更复杂的应力形状。上述研究结论均符合两门课程的理论要求，同时进行相互验证和补充，达到举一反三、触类旁通的教学效果。

结语

本文将“弹性力学与有限元”课程与“有限元分析软件及应用”两门课程联系起来，通过对同一个算例进行理论解和有限元数值解的分析，以问题为导向，培养学生解决实际工程问题的能力。通过建立模型、设置参数、工况定义、分析结果提取等对矩形长竖柱进行有限元分析，比较异同、查找规律，触类旁通。“一题两课”案例式教学，在传统授课模型的基础上，注重学生分析问题、解决问题能力的培养，不仅能够大大调动学生学习的积极性，更能够让学生将所学理论知识变为己用，真正实现学以致用、研以致用的终极目的。