[出处] 教育教学论坛_2022年第14期

[关键词] 运筹学;财经类院校;教学改革

[基金项目] 2018年度国家自然科学基金面上项目“数据驱动下基于消费者退货行为的零售商退货策略研究”（71971047）

[作者简介] 李婷婷（1987—），女，山东潍坊人，理学博士，东北财经大学管理科学与工程学院副教授，主要从事管理科学与工程的教学与研究。

[中图分类号] G642.0 ? [文献标识码] A [文章编号] 1674-9324（2022）14-0157-04 [收稿日期] 2022-01-13

运筹学是20世纪30年代初发展起来的一门新兴学科，其主要目的是为管理人员在决策时提供科学依据，是实现有效管理、正确决策和现代化管理的重要方法之一[1]。运筹学早期的应用主要在军事领域。随着科学技术和生产的发展，运筹学被广泛应用到各个领域，在国民经济中发挥着越来越重要的作用。运筹学的典型应用场景包括城市规划与布局、人力资源规划与调度、市场营销组合规划、投资组合管理、设备维修更新和可靠性、供应链管理、服务系统规划与管理、风险管理等[2]。

在上述运筹学应用场景中，不同的管理问题对应的模型存在较大的差异，但是从数学的角度讲，不同场景的模型之间可能存在一些共性的形式。例如，某些确定环境下的生产计划模型和投资组合模型本质上都属于线性规划问题，多周期的库存模型和设备更新模型都属于动态规划问题，它们可以采用相同的方法进行求解。按照模型的共性表现形式和共性优化方法进行划分，就形成了运筹学的各个内容模块，包括规划论、图论与网络、排队论、对策论以及决策论等[1]。

由于运筹学在经济管理等诸多领域的广泛应用，“运筹学”已经成为各个高校的经济与管理专业的本科生的必修课。我校也开设了“运筹学”课程，它是本科生的专业基础课且对数学基础的要求较高，很多学生学习时都感觉难度比较大，因此有必要对“运筹学”课程的教学进行深入的探讨。

一、“运筹学”课程的特点

1.系统的整体观念。运筹学是为管理决策提供服务的，优化的是决策者所关心的问题。通常情况下，决策者追求的是整个系统的优化，而不是某个子系统的优化。运筹学研究不是对各自系统的决策行为孤立评价，而是把有关子系统相互关联的决策综合起来考虑，从系统整体利益出发，寻求一个优化协调的方案[2]。

2.多学科融合。在运用运筹学解决实际问题时，首先需要对问题进行定义，然后收集相关数据，对数据进行统计分析，选择合适的方法进行建模，设计有效的算法进行求解，最后需要对解的有效性进行检验。因此，运筹学是一门多学科融合的学科。

3.定量模型的应用。运筹学研究往往采用对问题进行建模求解的方法进行分析。因此，学习运筹学的关键是建立合适的数学模型，选择合适的方法进行理论求解或者设计合适的算法进行数值求解。

4.注重实际应用。运筹学是为解决现实生活中的具体问题而产生并发展起来的一门学科。它能为人们解决实际问题提供方法与思路，应用性极强。现实生活中很多问题的原型都是以运筹学模型为基础的，可以用运筹学的思想去解决。而且，运筹学的应用范围也很广，涉及军事、工业、管理等领域，这些领域中的问题都可以采用运筹学的方法去解决。

二、“运筹学”教学中存在的问题

1.過于重视理论教学。运筹学是一门理论性较强的应用学科，它既需要重视理论教学又需要重视实践教学。然而，在实际的教学过程中，很多教师过于重视理论的教学，对实践教学的重视程度不够，让学生感觉运筹学是一门数学课。一方面，这提高了学生学习运筹学的难度，增加了学生对于运筹学的畏惧情绪。另一方面，学生往往为了学习而学习，不知道学了运筹学有什么用处，降低了学生学习的积极性。

2.缺乏足够的案例支撑。在案例的选择过程中需要考虑到案例的趣味性、贴近现实生活的程度、学生参与案例的程度、与知识点的结合程度等。现在的运筹学教材大多是十几年前编写的，书中的案例较为陈旧，与现在的生活贴近程度不高，无法激发学生的学习兴趣。因此，需要教师自己思考并寻找合适的教学案例。

3.考核形式单一。目前的考核形式仅限于笔试的形式，考核形式比较单一。可以增加课程论文和上机编程的形式。采用课程论文的形式可以考查学生解决实际问题的能力。采用上机编程的形式可以考核学生的编程能力。

4.教师与学生之间缺乏互动。传统的运筹学课程以教师为中心，所有的教授过程全部围绕老师展开，基本采用的都是“老师讲+学生听”的模式。教师应注意自身的引导作用，适时将学生带入本节课所讲解内容的问题情境，与学生多多探讨运筹学问题的解决方法，并且提出问题与学生共同讨论，让学生成为课堂的主体，教师发挥辅助作用。

三、完善“运筹学”课程教学的基本思想

1.弱化数学的推导与演算。在运筹学的教学过程中，可以弱化数学的推导和演算，只讲授必要的数学推导和证明，非必要的部分可以选择只给学生介绍思路。例如，在线性规划的单纯形法的讲解过程中，可以不讲解向量方程的方法，只介绍系数矩阵的方法。在动态规划的讲解过程中，最优性定理的证明过程可以不讲解。通过弱化数学的推导与演算，可以削弱学生们把运筹学当作一门数学课的印象。在学习的过程中，先入为主的畏难情绪会少很多。

2.案例与实例更接地气，拉近与学生的距离，实现“共鸣”。现在的运筹学教材中的案例大多较为陈旧，与学生的日常生活不够贴近。这就需要老师自己思考和设计与日常生活比较贴近的案例[3]。老师可以选择自己在研究中遇到的问题作为案例，也可以鼓励学生进行案例设计，这不仅可以激发学生的学习兴趣，也可以锻炼学生对生活的观察能力、表达能力以及数学建模能力。此外，还可以鼓励学生关注每年的大学生数学建模竞赛的题目，让学生意识到运筹学的广泛应用。

3.线上线下相结合，进行互动式教学。相比于线下课堂，学生在线上课程平台讨论区的发言交互更加活跃[4]。因此，老师可以利用线上线下相结合的方式进行教学，将课程作业、课后阅读材料等放到线上课程平台，鼓励学生在线上平台进行讨论和提问。这样，老师可以及时了解学生学习中遇到的难点。此外，教师也可以在线上推荐一些运筹学的精品课程，以供学生参考，扩展学生的知识面。未在课上讲授的知识点可以让学生通过网络课程进行学习，教师也可在线上课程平台布置习题，学生自学之后需完成，以提高课堂效率，另一方面，学生也能够在课下巩固课上所学到的知识。

4.研究与教学相结合，激发学生的研究兴趣。在教学中可以激发学生的研究兴趣，吸引有科研兴趣的学生继续深造。在动态规划部分关于机器负荷分配问题的讲解中，书中介绍了给定数值情况下、线性函数形式下以及凸函数形式下的结果。这是一个很好地将教学与研究相结合的例子。可以一步一步引导学生进行思考，让学生对科研过程有一个初步的了解。此外，老师还可以把自己研究的问题介绍给学生，引导学生独立思考。

四、完善运筹学教学的具体措施

针对上一节提出的完善运筹学教学的基本思想，本节提出一些具体的措施，主要有以下八个方面。

1.讲授之前引导学生先行独立思考。例如，在讲解求解运输规划问题的表上作业法之前，先引导学生思考运输问题的数学模型是否是线性规划模型，是否可以用单纯形法进行求解，运输问题的数学模型有什么特点等;在讲解动态规划部分的最短路问题时，先问学生怎么样选择一条最短路，用枚举法可以吗，问题规模比较大的时候怎么做。通过先让学生思考讨论的方式，激发学生的学习兴趣。学生先行思考过之后再学习，会有一种恍然大悟的感觉，学习的印象比较深刻，学习的效果会比较好。

2.鼓励学生学习后进行自我总结。在教学的过程中，笔者曾经发现学生虽然掌握了单纯形法的求解过程，但是当问学生单纯形法的求解思路是什么时学生往往答不上来，这说明学生并没有真正掌握这个方法。学生通过自我总结的方式往往能起到比较好的效果。以线性规划为例，在教授单纯形法之后可以向学生提出以下问题：单纯形法的基本原理是什么？单纯形法最重要的步骤是什么？单纯形法换基迭代本质上在做什么运算？为什么要学习对偶理论？对偶单纯形法和单纯形法的本质区别是什么？什么叫影子价格？如何从影子价格的角度看待检验数？通过一连串的启发问题，学生不仅能将一个一个的知识点学会，而且能够将所学的知识融会贯通。

3.鼓励学生将相关知识点和实际生活联系起来。运筹学教学的最终目的就在于使得学生能够运用运筹学解决实际生活中的问题[5]。例如，在講解决策树和效用理论时，可以给学生举一个购买手机“碎屏险”的例子。学生在做决策的时候需要考虑到自己的手机屏幕被摔碎的概率，摔碎之后的可能的损失，以及自己对于风险的态度。可以让学生自己画出自己的决策树，并利用书上所讲解的内容决定自己是否应该购买“碎屏险”。通过这个例子，学生既能学会决策树和相关的效用理论，也能认识到运筹学确实能解决实际生活中的问题。同时，也可以鼓励学生发掘现实生活中哪些问题还可以建模为类似的模型，培养学生发现问题与独立思考的能力。将教学内容与实际生活结合起来，可以增加教学的趣味性，激发学生的学习兴趣，使学习变得相对容易一些，真正做到寓乐于教、寓教于乐，学生们能够快乐学习。

4.确保学生真正理解重要概念。很多时候学生对于概念的理解只是一知半解，将问题换一个场景之后学生就不懂了。例如，直接让学生用对偶单纯形法求解一个线性规划问题，学生往往都会算。可是在线性规划的灵敏度分析部分，当某个系数发生变化使得约束条件的右端向量是原问题的非可行解且检验数行对应对偶问题的可行解时，可以用对偶单纯形法继续进行求解。而很多学生这个时候却不知道要使用对偶单纯形法，这说明学生并没有理解对偶单纯形法的本质。

5.设计一些有趣的或者有挑战性的题目。例如，可以设计中秋节月饼销售的问题：临近中秋节商家需要订购月饼进行销售，月饼的需求量不确定，如何决策月饼的订购量？再比如，核酸检测试剂盒的数量问题：核酸检测盒有限的情况下，如何用尽可能少的试剂盒完成社区的检测？这些案例都与学生的日常生活非常贴近，可以很好地激发学生的学习兴趣。这些案例也进一步证实了运筹学问题与我们的日常生活息息相关，让学生们认识到学习运筹学课程的重要性。当然，也可以让学生自己或分小组设计问题，并提出问题的解决方案。通过观察日常生活，自己或小组共同提出问题并探讨其背后蕴含的运筹学知识。小组合作的方式可以增强学生的团队意识，从而营造良好的学习氛围[6]。而学生自身设计问题可以提高学生学以致用的能力，并且培养学生的发散思维。

6.常见软件工具的使用融入课堂。目前我校的运筹学教学偏重于理论讲解，不注重软件工具的使用。虽然我校也开设了一些优化软件使用相关的课程，但是与运筹学的教学衔接地并不好。在运筹学的考核中，主要是用笔试的方式考察学生的计算能力。一方面，现在优化软件的使用非常方便，学生对于烦琐的手算较为抵触。另一方面，现实生活中的问题规模往往非常大，手算能解决的问题规模比较小。学生学完运筹学的理论后无法解决实际的问题。因此，非常有必要将常用的软件工具的使用融入课堂。在讲解完理论之后让学生使用现有算法或者自己编程进行求解，这会提高学生解决实际问题的能力。教师也可以在授课结束后安排学生进行上机实践，这不仅可以进一步巩固学生的理论知识，也可以提高学生的学习热情[7]。例如，教师在讲解完运输问题之后，可以为学生提供一次上机机会。由学生自行设计问题或者教师布置题目，学生利用软件求解此问题，之后教师可以展示优秀作业，大家一起学习交流。上机实践不仅可以让学生熟悉软件的使用，提高自身的专业能力，也可以让学生加深对本节知识点的理解，起到很好的教学效果。

7.把研究的問题融入课程。例如讲解动态规划部分时，可以讲解收益管理中航空公司的机票定价问题，也可以讲解供应链管理中的多期库存管理问题。这样既可以扩宽学生的视野，也能让学生了解老师目前正在研究的问题。如果学生对于老师的研究问题感兴趣，也可以让本科生参与老师的课题。

8.互动式教学，增加课堂的趣味性。如果课程比较枯燥乏味，学生很容易分散注意力，导致后续的学习无法跟上。要想持续捕获学生的注意力，老师需要把课程设计得轻松有趣。例如在讲解博弈论中的重复博弈时，可以以红黑博弈为例，将班级的同学分成两组，两组同学进行博弈。这可以激发学生的胜负欲，也会增强学生的参与感。

结语

随着经济社会的发展，运筹学被越来越多地应用到经济管理等多个领域解决现实生活中的优化问题。随着计算机技术的发展，运筹学发挥的作用越来越大。因此，学好运筹学对于培养学生的优化思维和解决实际问题的能力具有重要的作用。本文首先分析了运筹学课程的特点，然后指出了目前运筹学教学中存在的一些问题。针对这些问题，本文提出了改善“运筹学”课程教学的基本思想并给出了一些具有针对性和操作性的具体措施。本文将为财经类院校运筹学课程的教学提供有益的启示。